Jindřich Fügner pocházel z velmi zámožné rodiny; otec byl úspěšný obchodník s textilem. Jindřich studoval v
Praze na piaristickém gymnáziu v Panské ulici, po studiích se začal zaučovat v obchodě a v roce 1846 převzal řízení rodinného podniku spolu se zastupováním
liberecké firmy J. Liebiga, příbuzného z matčiny strany.
Hodně cestoval, stále se vzdělával a ovládal několik jazyků. Roku 1853 oženil s
Kateřinou Tureckou (1834–1906), dcerou správce velkostatku Dietrichštejnů a majitele statku ve Zbuzanech. O rok později se jim narodila dcera
Renáta (1854–1937), pojmenovaná podle filozofa
Reného Descarta.
Fügnerovi jezdívali na letní byt na
Křivoklátsko, do myslivny ve
Svaté u
Berouna. Tam se Jindřich Fügner seznámil s
Miroslavem Tyršem, který působil jako učitel v rodině železářských podnikatelů Bartelmusových v Novém Jáchymově. Při společných procházkách v
Křivoklátských lesích se zrodila myšlenka založit vlastenecký tělocvičný spolek. Dostal jméno
Sokol Pražský a s rokem vzniku 1862 se řadí k nejstarším organizacím svého druhu na světě.
Fügner, který se stal prvním starostou
Sokola, vystupoval jako jeho štědrý mecenáš: financoval úpravy sálu hostince U Apolla v Ječné ulici v
Praze, kde se konala první veřejná cvičení, byl i u slavnostního svěcení spolkového praporu, jehož podobu navrhl malíř
Josef Mánes. Navrhl a zavedl tykání všech členů a oslovování „bratře“, a na znamení podpory tehdejšího národně osvobozeneckého hnutí v Itálii v čele s
Giuseppem Garibaldim jako první začal nosit červenou košili. Ta je součástí sokolského spolkového stejnokroje dodnes.
Řady sokolů rychle rostly, členové spolku se věnovali cvičení a podnikali společné výlety na venkov, kde se zakládaly nové jednoty. Když musel Pražský Sokol z Apolla odejít, Fügner koupil za vlastní prostředky pozemek v Mezibranské ulici v
Praze na
Novém Městě. Tam podle návrhu
Vojtěcha Ignáce Ullmanna v roce 1863 vyrostla budova Sokola pražského, kde o rok později našla domov i Fügnerova rodina. Nedlouho poté však
Jindřich Fügner v pouhých 43 letech zemřel na onemocnění krve. Jeho pohřeb se stal celonárodní vlasteneckou manifestací.
Jindřich Fügner má na
Olšanských hřbitovech společnou hrobku s
Miroslavem Tyršem; ten se totiž v roce 1872 oženil s tehdy sedmnáctiletou
Renatou Fügnerovou, dcerou svého zesnulého přítele. Jindřicha Fügnera připomíná také několik pamětních desek, mimo jiné v
Praze v Sokolské ulici na domě, kde zemřel, a na
bývalé myslivně u Svaté. V
Praze, Písku,
Rokycanech a v
Moravských Budějovicích je Fügnerovo náměstí, ve
Zlíně a v
Bílovicích nad Svitavou mají Fügnerovo nábřeží, v řadě měst po něm jsou pojmenované ulice.